Théorème de la base incomplète exemple

Supposons que la cardinalité de I soit plus grande que celle de J. Cette maximalité implique que K s`étend sur V et est donc une base (la maximalité implique que chaque élément de V est linéairement dépendant des éléments de K, et est donc une combinaison linéaire d`éléments de K. Cela implique que Dim V = m − k < m. Continuant de cette façon, nous continuons à choisir des vecteurs jusqu`à ce que nous ayons finalement avoir un ensemble de ligne indépendante linéairement: dire V = span {v 1, v 2,. Le théorème de base est une version abstraite de l`instruction précédente, qui s`applique à tout sous-espace. En mathématiques, le théorème des dimensions pour les espaces vectoriels indique que toutes les bases d`un espace vectoriel ont également de nombreux éléments. Rappel de cet exemple dans la section 3. Mais nous étions en supposant que V a dimension m, si B doit avoir déjà été une base. Avec le théorème de rang, on peut enfin relier la dimension de l`ensemble de solutions d`une équation matricielle à la dimension de l`espace de la colonne. Mais nous étions en supposant que Dim V = m, si B doit avoir déjà été une base. Par conséquent, un i 0 {displaystyle a_ {I_ {0}}} est linéairement dépendant de l`autre un i {displaystyle a_ {i}} `s, qui fournit la contradiction souhaitée. En particulier si V est généré avec finesse, alors toutes ses bases sont finies et ont le même nombre d`éléments.

Maintenant V = span {v 1, v 2,. Bien que la preuve de l`existence d`une base pour tout espace vectoriel dans le cas général exige lemme de Zorn et est en fait équivalente à l`axiome de choix, l`unicité de la cardinalité de la base ne nécessite que le lemme ultrafilter, [1] qui est strictement plus faible ( la preuve donnée ci-dessous, cependant, suppose que la trichotomie, i. Si J est finie, une preuve basée sur la théorie de la matrice est aussi possible. Par le critère de portée croissante de la section 3. Le correspondant a i 0 {displaystyle a_ {I_ {0}}} peut être exprimé sous la forme d`une combinaison linéaire finie de b j {displaystyle _ {j}} `s, qui à son tour peut être exprimée comme une combinaison linéaire finie d`un i {displaystyle a_ {i}} `s, n`impliquant pas un i 0 {displaystyle a_ {I_ {0}} } . Si J est finie, cela résulte de l`échange de Steinitz Lemma. Par lemme de Zorn, chaque ensemble indépendant linéaire est contenu dans un ensemble de K de linéairement indépendant. Donc, il ya quelques i 0 i i {displaystyle I_ {0} in i} qui n`apparaît pas dans n`importe quel E j {displaystyle E_ {j}}. Selon ce théorème de la section 3. Comme la cardinalité de K est supérieure ou égale à la cardinalité de i, on peut remplacer i par K, c`est-à-dire, on peut supposer, sans perte de généralité, que je suis une base. Il faut prouver que la cardinalité de I n`est pas plus grande que celle de J.

Supposons que B = {v 1, v 2,. Cette application du théorème de dimension est parfois elle-même appelée le théorème de dimension. En d`autres termes, si vous savez déjà que Dim V = m, et si vous avez un ensemble de m vecteurs B = {v 1, v 2,. Clairement (le nombre de colonnes avec pivots) plus (le nombre de colonnes sans pivots) est égal à (le nombre de colonnes de A), nous avons donc prouvé le théorème suivant. Si B n`est pas linéairement indépendant, alors par ce théorème dans la section 3. En effet, le lemme d`échange de Steinitz implique que chaque sous-ensemble fini de i a cardinalité pas plus grande que celle de J, donc je suis finie avec cardinalité pas plus grande que celle de J. Dans le cas finiment généré la preuve n`utilise que des arguments élémentaires de l`algèbre, et ne nécessite pas l`axiome de choix, ni ses variantes plus faibles. Comme A est une matrice n × n, ces deux conditions sont équivalentes: les vecteurs s`étendent si et seulement s`ils sont linéairement indépendants. Nous devons prouver que cela conduit à une contradiction.

Ce nombre d`éléments peut être fini ou infini (dans ce dernier cas, il s`agit d`un nombre cardinal) et définit la dimension de l`espace vectoriel. Supposons maintenant que B = {v 1, v 2,. Si j`ai fini, il n`y a rien à prouver.

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